8. Тип 16 Диагональ АС ромба ABCD равна 30, a tg/BCA = 4/3. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Решение:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей — центр вписанной окружности, а радиус вписанной окружности равен высоте, опущенной из центра на сторону.

Пусть диагонали пересекаются в точке О. Тогда \( AO = OC = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot 30 = 15 \).

В прямоугольном треугольнике \( BOC \) имеем \( \text{tg} \angle BCA = \frac{OB}{OC} \).

\( \frac{4}{3} = \frac{OB}{15} \)

\( OB = \frac{4}{3} \cdot 15 = 20 \).

Диагональ BD равна \( 2 \cdot OB = 2 \cdot 20 = 40 \).

Найдем сторону ромба BC по теореме Пифагора в \( \triangle BOC \):

\( BC^2 = OB^2 + OC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625 \)

\( BC = \sqrt{625} = 25 \).

Площадь ромба \( S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 40 = 600 \).

Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне: \( S = a \cdot h \). В данном случае высота h — это диаметр вписанной окружности, а радиус \( r = \frac{h}{2} \).

\( h = \frac{S}{a} = \frac{600}{25} = 24 \).

Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \).

Ответ: 12.