8. Составьте два выражения для вычисления площади фигуры, разбивая ее на прямоугольники разными способами. Докажите, что эти выражения тождественно равны.

Решение:

Фигура представляет собой Г-образную форму. Обозначим стороны как указано на чертеже: верхний горизонтальный отрезок — \(a\), вертикальный отрезок под ним — \(a\), нижний горизонтальный отрезок — \(b\). Высота правой вертикальной части — \(c\).

Способ 1: Разбить на два прямоугольника по горизонтали.

1. Верхний прямоугольник:
   Ширина = \(a\), высота = \(a\). Площадь = \(a \times a = a^2\).
2. Нижний прямоугольник:
   Ширина = \(b\), высота = \(c\). Площадь = \(b \times c\).
3. Общая площадь (Способ 1): \(S_1 = a^2 + bc\).

Способ 2: Разбить на два прямоугольника по вертикали.

1. Левый прямоугольник:
   Ширина = \(a\), высота = \(a + c\). Площадь = \(a(a+c) = a^2 + ac\).
2. Правый прямоугольник:
   Ширина = \(b - a\), высота = \(c\). Площадь = \((b-a)c = bc - ac\).
3. Общая площадь (Способ 2): \(S_2 = (a^2 + ac) + (bc - ac) = a^2 + ac + bc - ac = a^2 + bc\).

Доказательство тождества:

Сравнивая площади, полученные двумя способами, видим:

\(S_1 = a^2 + bc\)

\(S_2 = a^2 + bc\)

Таким образом, \(S_1 = S_2\). Оба выражения тождественно равны.

Ответ: Два выражения для площади: \(a^2 + bc\) и \(a(a+c) + (b-a)c\). Они тождественно равны.