8. Решите задачу (1 балл): Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 20см, а боковое ребро – 16см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение:

В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат.

Высота пирамиды \( h = 20 \) см, боковое ребро \( l = 16 \) см.

Чтобы найти площадь боковой поверхности, нужно знать апофему пирамиды \( a \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой и половиной стороны основания. Сторона основания \( s \).

По теореме Пифагора:

\( l^2 = h^2 + a^2 \)

\( 16^2 = 20^2 + a^2 \)

\( 256 = 400 + a^2 \)

\( a^2 = 256 - 400 = -144 \)

Получили отрицательное значение для \( a^2 \), что невозможно. Это означает, что в условии задачи ошибка: боковое ребро не может быть меньше высоты.

Если предположить, что 20 см - это апофема, а 16 см - боковое ребро:

\( l^2 = a^2 + (s/2)^2 \)

\( 16^2 = 20^2 + (s/2)^2 \)

\( 256 = 400 + (s/2)^2 \)

\( (s/2)^2 = 256 - 400 = -144 \)

Если предположить, что 20 см - это сторона основания, а 16 см - боковое ребро:

Тогда апофема \( a \) находится из прямоугольного треугольника, где гипотенуза — боковое ребро \( l \), катеты — высота \( h \) и половина диагонали основания \( d/2 \). Или можно найти апофему через половину стороны основания \( s/2 \) и высоту.

Пусть \( s = 20 \) см, \( l = 16 \) см.

\( a \) - апофема. \( h \) - высота. \( s/2 = 10 \) см.

\( l^2 = h^2 + (d/2)^2 \). Диагональ квадрата \( d = s\sqrt{2} = 20\sqrt{2} \). \( d/2 = 10\sqrt{2} \).

\( 16^2 = h^2 + (10\sqrt{2})^2 \)

\( 256 = h^2 + 200 \)

\( h^2 = 256 - 200 = 56 \)

\( h = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \) см.

Теперь найдём апофему \( a \) из треугольника с катетами \( h \) и \( s/2 \):

\( a^2 = h^2 + (s/2)^2 = 56 + 10^2 = 56 + 100 = 156 \)

\( a = \sqrt{156} = 2\sqrt{39} \) см.

Площадь боковой поверхности пирамиды \( S_{бок} = \frac{1}{2} П р и м етр основа й м а пофема \)

\( S_{бок} = \frac{1}{2} р а в но приметру основа м а пофема \)

Периметр основания \( P = 4s = 4 × 20 = 80 \) см.

\( S_{бок} = \frac{1}{2} × 80 × 2\sqrt{39} = 80\sqrt{39} \) см².

Внимание: Оригинальное условие задачи некорректно, так как боковое ребро (16 см) меньше высоты (20 см). Расчет приведен для случая, когда 20 см - сторона основания, а 16 см - боковое ребро.

Ответ: 80√39 см².