10. Решите уравнение: sin 2x + √3 sin x = 0

Решение:

Воспользуемся формулой синуса двойного угла: \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \).

Уравнение примет вид:

\[ 2 \sin x \cos x + \sqrt{3} \sin x = 0 \]

Вынесем общий множитель \( \sin x \) за скобки:

\[ \sin x (2 \cos x + \sqrt{3}) = 0 \]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, у нас два случая:

1) \( \sin x = 0 \)

Решения этого уравнения:

\[ x = \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \]

2) \( 2 \cos x + \sqrt{3} = 0 \)

\[ 2 \cos x = -\sqrt{3} \]

\[ \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Решения этого уравнения:

\[ x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Объединяя оба случая, получаем все корни исходного уравнения.

Ответ: \( x = \pi k \) и \( x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi n \), где \( k, n \in \mathbb{Z} \).