8. Решите уравнение a^(x+1) – a^(x-1) = b - 40, где a = 5(sin²120° + cos²120°); b = 9^(log₃8).

Решение:

Сначала вычислим значения \( a \) и \( b \).

Вычисление \( a \):

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\( a = 5(\sin^2 120^{\circ} + \cos^2 120^{\circ}) = 5(1) = 5 \).

Вычисление \( b \):

Используем свойство логарифма: \( c^{\log_c N} = N \).

\( b = 9^{\log_3 8} \)

Перепишем основание \( 9 \) как \( 3^2 \):

\( b = (3^2)^{\log_3 8} \)

Используем свойство степени \( (x^m)^n = x^{mn} \):

\( b = 3^{2 \cdot \log_3 8} \)

Используем свойство логарифма \( m \log_c N = \log_c N^m \):

\( b = 3^{\log_3 8^2} \)

\( b = 3^{\log_3 64} \)

Теперь применим свойство \( c^{\log_c N} = N \):

\( b = 64 \).

Подставим найденные значения \( a \) и \( b \) в исходное уравнение:

\( 5^{x+1} - 5^{x-1} = 64 - 40 \)

\( 5^{x+1} - 5^{x-1} = 24 \)

Вынесем общий множитель \( 5^{x-1} \):

\( 5^{x-1}(5^{(x+1)-(x-1)} - 1) = 24 \)

\( 5^{x-1}(5^2 - 1) = 24 \)

\( 5^{x-1}(25 - 1) = 24 \)

\( 5^{x-1}(24) = 24 \)

Разделим обе части на 24:

\( 5^{x-1} = 1 \)

Так как \( 1 = 5^0 \), то:

\( 5^{x-1} = 5^0 \)

Приравняем показатели степеней:

\( x - 1 = 0 \)

\( x = 1 \).

Ответ: 1.