7. Решите уравнение tg²x-5=4tgx.

Решение:

Перепишем уравнение, приведя его к виду квадратного относительно \( \text{tg } x \):

\( \text{tg}^2 x - 4 \text{tg } x - 5 = 0 \)

Пусть \( y = \text{tg } x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 4y - 5 = 0 \)

Решим квадратное уравнение для \( y \):

Дискриминант \( D = (-4)^2 - 4(1)(-5) = 16 + 20 = 36 \).

\( y_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \)

\( y_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к замене \( y = \text{tg } x \) и решим два тригонометрических уравнения:

1. \( \text{tg } x = 5 \)

\( x = \text{arctg } 5 + \pi n \), где \( n \in \mathbb{Z} \).

1. \( \text{tg } x = -1 \)

\( x = \text{arctg } (-1) + \pi k \)

Так как \( \text{arctg } (-1) = -\frac{\pi}{4} \) (или \( \frac{3\pi}{4} \)), то

\( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).

Ответ: \( x = \text{arctg } 5 + \pi n \) или \( x = -\frac{\pi}{4} + \pi k \), где \( n, k \in \mathbb{Z} \).