8. Решите систему уравнений 2x+y=3, 6 --- 9 --- 6 --- x+y=4 --- 3 --- 4

Решение:

Сначала запишем систему в более удобном виде, избавившись от дробей.

• Первое уравнение:
  \[ \frac{2x+y}{6} + \frac{x+y}{9} = 3 \]
• Приведем дроби к общему знаменателю 18:
  \[ \frac{3(2x+y)}{18} + \frac{2(x+y)}{18} = 3 \]
  \[ 3(2x+y) + 2(x+y) = 3 · 18 \]
  \[ 6x + 3y + 2x + 2y = 54 \]
  \[ 8x + 5y = 54 \]
• Второе уравнение:
  \[ \frac{x-y}{3} - \frac{x+y}{4} = \frac{1}{6} \]
• Приведем дроби к общему знаменателю 12:
  \[ \frac{4(x-y)}{12} - \frac{3(x+y)}{12} = \frac{2}{12} \]
  \[ 4(x-y) - 3(x+y) = 2 \]
  \[ 4x - 4y - 3x - 3y = 2 \]
  \[ x - 7y = 2 \]
• Теперь у нас есть упрощенная система:
• \[ \begin{cases} 8x + 5y = 54 \\ x - 7y = 2 \end{cases} \]
• Метод подстановки: Выразим \( x \) из второго уравнения: \( x = 2 + 7y \).
• Подставим это выражение в первое уравнение:
• \[ 8(2 + 7y) + 5y = 54 \]
  \[ 16 + 56y + 5y = 54 \]
  \[ 61y = 54 - 16 \]
  \[ 61y = 38 \]
  \[ y = \frac{38}{61} \]
• Найдем \( x \), подставив \( y = \frac{38}{61} \) в \( x = 2 + 7y \):
• \[ x = 2 + 7 · \frac{38}{61} \]
  \[ x = 2 + \frac{266}{61} \]
  \[ x = \frac{122}{61} + \frac{266}{61} \]
  \[ x = \frac{388}{61} \]

Ответ: (\(\frac{388}{61}\); \(\frac{38}{61}\))