8. Решить систему уравнений: \(\begin{cases} 2^y = 200 \cdot 5^x \\ x + y = 1 \end{cases}\)

Решение:

1. Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 1 - x \).
2. Подставим это выражение в первое уравнение: \( 2^{1-x} = 200 \cdot 5^x \).
3. Представим \( 2^{1-x} \) как \( \frac{2}{2^x} \): \( \frac{2}{2^x} = 200 \cdot 5^x \).
4. Разделим обе части на 2: \( \frac{1}{2^x} = 100 \cdot 5^x \).
5. Перенесём \( 2^x \) в правую часть: \( 1 = 100 \cdot 5^x \cdot 2^x \).
6. \( 1 = 100 \cdot (5 \cdot 2)^x \).
7. \( 1 = 100 \cdot 10^x \).
8. Разделим обе части на 100: \( \frac{1}{100} = 10^x \).
9. Представим \( \frac{1}{100} \) как \( 10^{-2} \): \( 10^{-2} = 10^x \).
10. Следовательно, \( x = -2 \).
11. Теперь найдём \( y \), используя \( y = 1 - x \): \( y = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \).
12. Проверим полученное решение подстановкой в исходную систему:
13. Первое уравнение: \( 2^3 = 8 \). \( 200 \cdot 5^{-2} = 200 \cdot \frac{1}{25} = \frac{200}{25} = 8 \). Первое уравнение выполняется.
14. Второе уравнение: \( -2 + 3 = 1 \). Второе уравнение выполняется.

Ответ: \( x = -2, y = 3 \).