10. Образующая конуса равна 12 см и образует с плоскостью основания угол в 30°. Определите объем конуса.

Решение:

1. Обозначим образующую конуса как \( l = 12 \) см. Угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике, образованном образующей, радиусом основания \( r \) и высотой конуса \( h \), образующая является гипотенузой.
3. Радиус основания \( r \) можно найти как катет, прилежащий к углу \( \alpha \): \( r = l \cdot \cos \alpha \).
4. \( r = 12 \cdot \cos 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \) см.
5. Высота конуса \( h \) является катетом, противолежащим углу \( \alpha \): \( h = l \cdot \sin \alpha \).
6. \( h = 12 \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \) см.
7. Объем конуса \( V \) вычисляется по формуле \( V = \frac{1}{3}\pi r^2 h \).
8. Подставим найденные значения \( r \) и \( h \): \( V = \frac{1}{3}\pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 \).
9. \( V = \frac{1}{3}\pi (36 \cdot 3) \cdot 6 \).
10. \( V = \frac{1}{3}\pi (108) \cdot 6 \).
11. \( V = 36\pi \cdot 6 = 216\pi \) см³.

Ответ: \( 216\pi \) см³.