8. РЕ и MF - высоты треугольника MNP. MF пересекает РЕ в точке О. Какие из высказываний верны:

Решение:

В треугольнике MNP проведены две высоты PE и MF, пересекающиеся в точке O. Точка пересечения высот треугольника называется ортоцентром. Таким образом, O - ортоцентр треугольника MNP.

Рассмотрим треугольник MFN. Угол NFM = 90° (так как MF - высота). Угол FEM = 90° (так как PE - высота). В четырехугольнике MFEN два прямых угла, значит, MFEN - вписанный в окружность с диаметром MN.

Рассмотрим треугольник MEP. Угол MPE = 90° (так как PE - высота). Угол MFE = 90° (так как MF - высота). В четырехугольнике MEFP два прямых угла, значит, MEFP - вписанный в окружность с диаметром MP.

Рассмотрим утверждение 1: \( \triangle ENP \sim \triangle FNM \). Угол NEP = 90°, угол FNM - общий, угол FMN = 90°. Треугольники ENP и FNM прямоугольные. Угол N общий для обоих треугольников. Следовательно, \( \triangle ENP \sim \triangle FNM \) по двум углам (угол N общий, \( \angle NEP = \angle NFM = 90^{\circ} \)). Утверждение 1 верно.

Рассмотрим утверждение 2: \( \triangle MFP \sim \triangle PEM \). Угол MFP = 90°, угол PEM = 90°. \( \angle P \) - общий. Следовательно, \( \triangle MFP \sim \triangle PEM \) по двум углам.

Рассмотрим утверждение 3: \( \triangle MNP \sim \triangle MOP \). Угол M общий. Угол PNE = 90°, Угол MOP = 90°. Следовательно, \( \triangle MNP \sim \triangle MOP \) по двум углам.

Рассмотрим утверждение 4: \( \triangle MEO \sim \triangle PFO \). Углы EOM и FOP равны как вертикальные. \( \angle MEO = 90^{\circ} \) и \( \angle PFO = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle MEO \sim \triangle PFO \) по двум углам.

Ответ: A. 2,3