8. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 18, а периметр равен 56. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1. Найдем боковую сторону трапеции. Периметр трапеции равен сумме всех сторон: \( P = a + b + 2c \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( c \) — боковая сторона. \( 56 = 8 + 18 + 2c \Rightarrow 56 = 26 + 2c \Rightarrow 2c = 30 \Rightarrow c = 15 \).

2. Найдем высоту трапеции. Опустим из концов меньшего основания высоты на большее основание. Получим прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Катет каждого треугольника равен \( \frac{b-a}{2} = \frac{18-8}{2} = 5 \). Гипотенуза равна боковой стороне \( c = 15 \). Найдем высоту \( h \) по теореме Пифагора: \( h^2 + 5^2 = 15^2 \Rightarrow h^2 + 25 = 225 \Rightarrow h^2 = 200 \Rightarrow h = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).

3. Найдем площадь трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( S = \frac{a+b}{2} \cdot h \).

Подставим значения: \( S = \frac{8+18}{2} \cdot 10\sqrt{2} = \frac{26}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 13 \cdot 10\sqrt{2} = 130\sqrt{2} \).

Ответ: 130\(\sqrt{2}\)