8. Найти производную сложной функции: а) 0,5x⁴ + 4/x - 3 ln x; б) 3sin x - 1/2 cos x + 2eˣ - 3; в) √(4x-1) + 4 cos x/2; г) 3x(x²+4); д) (x-2)/(x+3)

Решение:

1. \( f'(x) = (0.5x^4 + 4x^{-1} - 3 \ln x)' = 0.5 \cdot 4x^3 + 4(-1)x^{-2} - 3 \cdot \frac{1}{x} = 2x^3 - \frac{4}{x^2} - \frac{3}{x} \)
2. \( f'(x) = (3\sin x - 0.5\cos x + 2e^x - 3)' = 3\cos x - 0.5(-\sin x) + 2e^x = 3\cos x + 0.5\sin x + 2e^x \)
3. \( f(x) = \sqrt{4x-1} + 4\cos(\frac{x}{2}) = (4x-1)^{1/2} + 4\cos(\frac{x}{2}) \)
4. \( f'(x) = \frac{1}{2}(4x-1)^{-1/2} \cdot 4 + 4(-\sin(\frac{x}{2})) \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{\sqrt{4x-1}} - 2\sin(\frac{x}{2}) \)
5. \( f(x) = 3x(x^2+4) = 3x^3 + 12x \)
6. \( f'(x) = 9x^2 + 12 \)
7. \( f(x) = \frac{x-2}{x+3} \)
8. \( f'(x) = \frac{(1)(x+3) - (x-2)(1)}{(x+3)^2} = \frac{x+3-x+2}{(x+3)^2} = \frac{5}{(x+3)^2} \)

Ответ: а) \(2x^3 - \frac{4}{x^2} - \frac{3}{x}\); б) \(3\cos x + 0.5\sin x + 2e^x\); в) \(\frac{2}{\sqrt{4x-1}} - 2\sin(\frac{x}{2})\); г) \(9x^2 + 12\); д) \(\frac{5}{(x+3)^2}\).