8. Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = 2x³ - 3x² - 12х + 1 на отрезке [4;5].

Решение:

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции \( y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1 \) на отрезке \( [4; 5] \) нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции: \( y' = (2x^3 - 3x^2 - 12x + 1)' = 6x^2 - 6x - 12 \).
2. Приравняем производную к нулю и найдем критические точки: \( 6x^2 - 6x - 12 = 0 \). Разделим на 6: \( x^2 - x - 2 = 0 \).
3. Найдем корни уравнения: \( (x-2)(x+1) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = -1 \).
4. Обе найденные критические точки \( x=2 \) и \( x=-1 \) не принадлежат отрезку \( [4; 5] \).
5. Значит, наибольшее и наименьшее значения функции будут достигаться на концах отрезка \( [4; 5] \).
6. Вычислим значения функции на концах отрезка:
• При \( x = 4 \): \( y = 2(4)^3 - 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 2(64) - 3(16) - 48 + 1 = 128 - 48 - 48 + 1 = 33 \).
• При \( x = 5 \): \( y = 2(5)^3 - 3(5)^2 - 12(5) + 1 = 2(125) - 3(25) - 60 + 1 = 250 - 75 - 60 + 1 = 116 \).
7. Сравним полученные значения: \( 33 \) и \( 116 \).
8. Наибольшее значение равно \( 116 \), наименьшее значение равно \( 33 \).

Ответ: Наибольшее значение равно 116, наименьшее значение равно 33.