2. Найдите точку минимума функции у = х³ - 6,5х² - 56х + 8.

Решение:

Для нахождения точки минимума функции \( y = x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8 \) нужно найти её производную, приравнять к нулю и определить, в какой из критических точек функция достигает минимума.

1. Найдем производную функции: \( y' = (x^3 - 6.5x^2 - 56x + 8)' = 3x^2 - 13x - 56 \).
2. Приравняем производную к нулю: \( 3x^2 - 13x - 56 = 0 \).
3. Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-56) = 169 + 672 = 841 \). \( \sqrt{D} = \sqrt{841} = 29 \).
4. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 29}{2 \cdot 3} = \frac{42}{6} = 7 \). \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 29}{2 \cdot 3} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
• На \( (-\infty, -8/3) \), например, при \( x = -3 \): \( y' = 3(-3)^2 - 13(-3) - 56 = 3 \cdot 9 + 39 - 56 = 27 + 39 - 56 = 66 - 56 = 10 > 0 \). Функция возрастает.
• На \( (-8/3, 7) \), например, при \( x = 0 \): \( y' = 3(0)^2 - 13(0) - 56 = -56 < 0 \). Функция убывает.
• На \( (7, \infty) \), например, при \( x = 8 \): \( y' = 3(8)^2 - 13(8) - 56 = 3 \cdot 64 - 104 - 56 = 192 - 104 - 56 = 192 - 160 = 32 > 0 \). Функция возрастает.
6. Точка \( x = 7 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.

Ответ: 7.