8. Найдите значение выражения \( \sqrt{24 \cdot 75 \cdot 8} \).

Чтобы упростить вычисление под корнем, разложим числа на простые множители или выделим полные квадраты.

\( 24 = 4 \times 6 = 2^2 \times 2 \times 3 \)

\( 75 = 3 \times 25 = 3 \times 5^2 \)

\( 8 = 2 \times 4 = 2 \times 2^2 \)

Теперь перемножим эти множители:

\( 24 \times 75 \times 8 = (2^2 \times 2 \times 3) \times (3 \times 5^2) \times (2 \times 2^2) \)

Сгруппируем одинаковые множители:

\( = 2^2 \times 2 \times 2 \times 2^2 \times 3 \times 3 \times 5^2 = 2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 5^2 \)

Теперь извлечём квадратный корень:

\( \sqrt{2^2 \times 2^2 \times 2^2 \times 3^2 \times 5^2} = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 \)

Вычислим произведение:

\( 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 8 \times 15 = 120 \).

Альтернативный способ:

\( \sqrt{24 \cdot 75 \cdot 8} = \sqrt{(24 \cdot 8) \cdot 75} = \sqrt{192 \cdot 75} \)

\( 192 = 64 \times 3 \)

\( 75 = 25 \times 3 \)

\( \sqrt{192 \cdot 75} = \sqrt{(64 \times 3) \times (25 \times 3)} = \sqrt{64 \times 25 \times 3 \times 3} = \sqrt{64} \times \sqrt{25} \times \sqrt{3^2} = 8 \times 5 \times 3 = 120 \).

Ответ: 120.