8. Найдите значение выражения $$\sqrt{0,04 \cdot a^6 \cdot b^8}$$ при $$a=2$$ и $$b=\sqrt{5}$$.

Дано:

• Выражение: $$\sqrt{0,04 \cdot a^6 \cdot b^8}$$
• $$a=2$$
• $$b=\sqrt{5}$$

Решение:

1. Подставим значения $$a$$ и $$b$$ в выражение:
\[ \sqrt{0,04 \cdot (2)^6 \cdot (\sqrt{5})^8} \]
2. Вычислим степени:
• $$2^6 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 64$$
• $$(\sqrt{5})^8 = ((\sqrt{5})^2)^4 = 5^4 = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$$
3. Подставим вычисленные значения обратно:
\[ \sqrt{0,04 \cdot 64 \cdot 625} \]
4. Выполним умножение под корнем:
• $$0,04 \cdot 64 = 2,56$$
• $$2,56 \cdot 625 = 1600$$
5. Извлечем квадратный корень:
\[ \sqrt{1600} = 40 \]

Альтернативный способ (упрощение корня):

1. Преобразуем выражение под корнем:
\[ \sqrt{0,04 \cdot a^6 \cdot b^8} = \sqrt{(0,2)^2 \cdot (a^3)^2 \cdot (b^4)^2} \]
2. Извлечем квадратный корень:
\[ 0,2 \cdot |a^3| \cdot |b^4| \]
3. Подставим значения $$a=2$$ и $$b=\sqrt{5}$$:
• $$|a^3| = |2^3| = |8| = 8$$
• $$|b^4| = |(\sqrt{5})^4| = |5^2| = |25| = 25$$
4. Вычислим:
\[ 0,2 \cdot 8 \cdot 25 \]
• $$0,2 \cdot 8 = 1,6$$
• $$1,6 \cdot 25 = 40$$

Ответ: 40