8. Найдите все пары целых чисел (х; у), удовлетворяющих уравнению: х² = y² + 2y + 13.

Решение:

Дано уравнение: $$x^2 = y^2 + 2y + 13$$.

Наша цель — найти пары целых чисел $$(x, y)$$, которые удовлетворяют этому уравнению.

1. Преобразуем правую часть уравнения, выделив полный квадрат для $$y$$:
• $$y^2 + 2y + 13 = (y^2 + 2y + 1) + 12 = (y+1)^2 + 12$$.
• Теперь уравнение выглядит так: $$x^2 = (y+1)^2 + 12$$.
2. Перенесем $$(y+1)^2$$ влево:
• $$x^2 - (y+1)^2 = 12$$.
3. Применим формулу разности квадратов $$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$:
• Пусть $$a = x$$ и $$b = y+1$$.
• $$(x - (y+1))(x + (y+1)) = 12$$.
• $$(x - y - 1)(x + y + 1) = 12$$.
4. Найдем все пары целых множителей числа 12:
• Пары множителей числа 12: $$(1, 12), (2, 6), (3, 4), (-1, -12), (-2, -6), (-3, -4)$$.
• Также, поскольку множители могут быть равны, рассмотрим и случаи, когда множители меняются местами: $$(12, 1), (6, 2), (4, 3), (-12, -1), (-6, -2), (-4, -3)$$.
• Однако, заметим, что $$x + y + 1 less x - y - 1$$, так как $$(x + y + 1) - (x - y - 1) = 2y + 2$$, что может быть как положительным, так и отрицательным.
• Но $$(x + y + 1) + (x - y - 1) = 2x$$. Так как $$x$$ — целое число, $$2x$$ — четное число. Следовательно, сумма множителей должна быть четной.
• Проверим пары множителей:
• $$1 + 12 = 13$$ (нечетное)
• $$2 + 6 = 8$$ (четное)
• $$3 + 4 = 7$$ (нечетное)
• $$-1 + (-12) = -13$$ (нечетное)
• $$-2 + (-6) = -8$$ (четное)
• $$-3 + (-4) = -7$$ (нечетное)
• Таким образом, нам подходят только пары, сумма которых четная: $$(2, 6)$$ и $$(-2, -6)$$.
5. Решим систему уравнений для каждой подходящей пары:
• Случай 1: $$x - y - 1 = 2$$ и $$x + y + 1 = 6$$.
• Сложим два уравнения: $$(x - y - 1) + (x + y + 1) = 2 + 6$$.
• $$2x = 8 ightarrow x = 4$$.
• Подставим $$x=4$$ во второе уравнение: $$4 + y + 1 = 6 ightarrow y + 5 = 6 ightarrow y = 1$$.
• Проверка: $$4^2 = 16$$. $$1^2 + 2(1) + 13 = 1 + 2 + 13 = 16$$. Пара $$(4, 1)$$ подходит.
• Случай 2: $$x - y - 1 = -6$$ и $$x + y + 1 = -2$$.
• Сложим два уравнения: $$(x - y - 1) + (x + y + 1) = -6 + (-2)$$.
• $$2x = -8 ightarrow x = -4$$.
• Подставим $$x=-4$$ во второе уравнение: $$-4 + y + 1 = -2 ightarrow y - 3 = -2 ightarrow y = 1$$.
• Проверка: $$(-4)^2 = 16$$. $$1^2 + 2(1) + 13 = 1 + 2 + 13 = 16$$. Пара $$(-4, 1)$$ подходит.
• Случай 3: $$x - y - 1 = 6$$ и $$x + y + 1 = 2$$.
• Сложим два уравнения: $$(x - y - 1) + (x + y + 1) = 6 + 2$$.
• $$2x = 8 ightarrow x = 4$$.
• Подставим $$x=4$$ во второе уравнение: $$4 + y + 1 = 2 ightarrow y + 5 = 2 ightarrow y = -3$$.
• Проверка: $$4^2 = 16$$. $$(-3)^2 + 2(-3) + 13 = 9 - 6 + 13 = 16$$. Пара $$(4, -3)$$ подходит.
• Случай 4: $$x - y - 1 = -2$$ и $$x + y + 1 = -6$$.
• Сложим два уравнения: $$(x - y - 1) + (x + y + 1) = -2 + (-6)$$.
• $$2x = -8 ightarrow x = -4$$.
• Подставим $$x=-4$$ во второе уравнение: $$-4 + y + 1 = -6 ightarrow y - 3 = -6 ightarrow y = -3$$.
• Проверка: $$(-4)^2 = 16$$. $$(-3)^2 + 2(-3) + 13 = 9 - 6 + 13 = 16$$. Пара $$(-4, -3)$$ подходит.

Ответ: Пары целых чисел $$(x; y)$$, удовлетворяющие уравнению: (4; 1), (-4; 1), (4; -3), (-4; -3).