8. Найдите площадь треугольника KMP, если сторона KP равна 5, медиана PO равна 3√2, ∠KOP = 135°.

Дано:

\( \triangle KMP \)

KP = 5

PO — медиана, PO = \( 3\sqrt{2} \)

\( \angle KOP = 135^{\circ} \)

Найти:

Площадь \( \triangle KMP \).

Решение:

1. PO — медиана, значит, O — середина стороны KM. Следовательно, KO = OM.
2. Рассмотрим \( \triangle KOP \). По теореме косинусов:
3. \( KP^2 = KO^2 + PO^2 - 2 \cdot KO \cdot PO \cdot \cos(\angle KOP) \)
4. \( 5^2 = KO^2 + (3\sqrt{2})^2 - 2 \cdot KO \cdot 3\sqrt{2} \cdot \cos(135^{\circ}) \)
5. \( 25 = KO^2 + 18 - 2 \cdot KO \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \)
6. \( 25 = KO^2 + 18 - 2 \cdot KO \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \)
7. \( 25 = KO^2 + 18 + 6 \cdot KO \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
8. \( 25 = KO^2 + 18 + 6 \cdot KO \cdot \frac{2}{2} \)
9. \( 25 = KO^2 + 18 + 6 KO \)
10. \( KO^2 + 6 KO + 18 - 25 = 0 \)
11. \( KO^2 + 6 KO - 7 = 0 \)
12. Решим квадратное уравнение относительно KO. Пусть \( y = KO \). \( y^2 + 6y - 7 = 0 \).
13. \( (y+7)(y-1) = 0 \).
14. Так как длина отрезка не может быть отрицательной, \( KO = 1 \).
15. Значит, \( KO = 1 \).
16. Так как O — середина KM, то KM = 2 * KO = 2 * 1 = 2.
17. Площадь \( \triangle KMP \) можно найти как \( \frac{1}{2} \cdot KM \cdot h \), где h — высота, опущенная из вершины P на сторону KM.
18. Однако, проще найти площадь \( \triangle KMP \) через площадь \( \triangle KOP \) и \( \triangle POM \).
19. Площадь \( \triangle KOP \) = \( \frac{1}{2} \cdot KO \cdot PO \cdot \sin(\angle KOP) \)
20. Площадь \( \triangle KOP \) = \( \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sin(135^{\circ}) \)
21. Площадь \( \triangle KOP \) = \( \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \cdot 2}{4} = \frac{6}{4} = 1.5 \).
22. Так как PO — медиана, то \( \triangle KOP \) и \( \triangle POM \) имеют равные основания (KO = OM) и общую высоту, проведенную из P. Следовательно, их площади равны.
23. Площадь \( \triangle POM \) = Площадь \( \triangle KOP \) = 1.5.
24. Площадь \( \triangle KMP \) = Площадь \( \triangle KOP \) + Площадь \( \triangle POM \) = 1.5 + 1.5 = 3.

Ответ: 3.