10. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC, касается катетов AC и BC соответственно в точках E и D. Найдите величину угла ABC (в градусах), если известно, что AE = 1, BD = 3.

Дано:

\( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \).

Окружность с центром O на AB.

Окружность касается AC в точке E, BC в точке D.

AE = 1.

BD = 3.

Найти:

\( \angle ABC \).

Решение:

1. Пусть O — центр окружности, R — радиус окружности.
2. Так как окружность касается катетов AC и BC в точках E и D, то OE ⊥ AC и OD ⊥ BC.
3. Поскольку \( \angle C = 90^{\circ} \), AC ⊥ BC, то C E O D — прямоугольник.
4. Так как OE = OD = R (радиусы), то C E O D — квадрат.
5. Следовательно, CE = CD = R.
6. Из условия касания: AE = 1, BD = 3.
7. Так как отрезки касательных из одной точки равны, то AE = EC = 1 и BD = DC = 3.
8. Но мы получили, что CE = R и CD = R.
9. Значит, R = 1 и R = 3. Это противоречие.
10. Перечитаем условие. Центр окружности лежит на гипотенузе AB.
11. Пусть O — центр окружности. OE ⊥ AC, OD ⊥ BC.
12. C E O D — прямоугольник. OE = OD = R.
13. Следовательно, C E O D — квадрат, и CE = CD = R.
14. Поскольку точки E и D — точки касания, то AE = AC - CE = AC - R, и BD = BC - CD = BC - R.
15. По условию, AE = 1, BD = 3.
16. Значит, AC - R = 1 => AC = R + 1.
17. И BC - R = 3 => BC = R + 3.
18. В прямоугольном \( \triangle ABC \), по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
19. \( AB^2 = (R+1)^2 + (R+3)^2 \).
20. Центр окружности O лежит на гипотенузе AB.
21. Расстояние от O до AC равно R (OE), расстояние от O до BC равно R (OD).
22. В прямоугольном \( \triangle ABC \), расстояние от точки на гипотенузе до катетов.
23. Пусть \( \angle ABC = \beta \). Тогда \( \angle BAC = 90^{\circ} - \beta \).
24. В \( \triangle OBD \), \( \angle ODB = 90^{\circ} \). \( \angle OBD = \beta \). \( OD = R \).
25. \( BD = 3 \). \( OB = \sqrt{OD^2 + BD^2} = \sqrt{R^2 + 3^2} = \sqrt{R^2 + 9} \).
26. В \( \triangle OAE \), \( \angle OEA = 90^{\circ} \). \( \angle OAE = 90^{\circ} - \beta \). \( OE = R \). \( AE = 1 \).
27. \( OA = \sqrt{OE^2 + AE^2} = \sqrt{R^2 + 1^2} = \sqrt{R^2 + 1} \).
28. AB = OA + OB = \( \sqrt{R^2 + 1} + \sqrt{R^2 + 9} \).
29. Также, в \( \triangle ABC \):
30. \( \tan(\beta) = \frac{AC}{BC} = \frac{R+1}{R+3} \).
31. \( \sin(\beta) = \frac{AC}{AB} = \frac{R+1}{\sqrt{R^2 + 1} + \sqrt{R^2 + 9}} \).
32. \( \cos(\beta) = \frac{BC}{AB} = \frac{R+3}{\sqrt{R^2 + 1} + \sqrt{R^2 + 9}} \).
33. Рассмотрим подобие треугольников. \( \triangle ABC \) подобен \( \triangle OAE \) и \( \triangle OBD \).
34. Из подобия \( \triangle ABC \) и \( \triangle OBD \): \( \frac{AC}{BC} = \frac{OA \sin(90-\beta)}{OB \sin(\beta)} = \frac{OA \cos(\beta)}{OB \sin(\beta)} \).
35. \( \frac{AC}{BC} = \frac{OE}{BD} = \frac{R}{3} \).
36. \( \frac{R+1}{R+3} = \frac{R}{3} \).
37. \( 3(R+1) = R(R+3) \)
38. \( 3R + 3 = R^2 + 3R \)
39. \( 3 = R^2 \)
40. \( R = \sqrt{3} \) (так как радиус положителен).
41. Теперь найдем \( \tan(\beta) \):
42. \( \tan(\beta) = \frac{R+1}{R+3} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+3} \).
43. Умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю \( (\sqrt{3}-3) \):
44. \( \tan(\beta) = \frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-3)}{(\sqrt{3}+3)(\sqrt{3}-3)} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{3 - 9} = \frac{-2\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
45. \( \tan(\beta) = \frac{\sqrt{3}}{3} \).
46. Отсюда, \( \beta = 30^{\circ} \).

Ответ: 30.