8. Мотоциклист проехал 40 км от пункта до пункта. Возвращаясь обратно со скоростью на 10 км/ч меньше первоначальной, он затратил на путь на 20 мин больше. Найдите первоначальную скорость мотоциклиста.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим первоначальную скорость мотоциклиста как \( v \) км/ч. Расстояние \( S = 40 \) км.
2. Шаг 2: Время в одну сторону (туда): \( t_1 = \frac{40}{v} \) часа.
3. Шаг 3: Скорость обратно: \( v - 10 \) км/ч.
4. Шаг 4: Время обратно: \( t_2 = \frac{40}{v-10} \) часа.
5. Шаг 5: Разница во времени: 20 минут = \( \frac{20}{60} = \frac{1}{3} \) часа. Так как время возвращения больше, то \( t_2 = t_1 + \frac{1}{3} \).
6. Шаг 6: Составляем уравнение:
   \( \frac{40}{v-10} = \frac{40}{v} + \frac{1}{3} \)
7. Шаг 7: Приводим к общему знаменателю и решаем.
   Умножаем обе части на \( 3v(v-10) \):
   \( 40 · 3v = 40 · 3(v-10) + v(v-10) \)
   \( 120v = 120(v-10) + v^2 - 10v \)
   \( 120v = 120v - 1200 + v^2 - 10v \)
   \( 0 = v^2 - 10v - 1200 \)
8. Шаг 8: Решаем квадратное уравнение \( v^2 - 10v - 1200 = 0 \) с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \).
   \( D = (-10)^2 - 4 · 1 · (-1200) \)
   \( D = 100 + 4800 = 4900 \)
   \( \sqrt{D} = 70 \)
9. Шаг 9: Находим корни уравнения.
   \( v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 + 70}{2 · 1} = \frac{80}{2} = 40 \)
   \( v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 - 70}{2 · 1} = \frac{-60}{2} = -30 \)
10. Шаг 10: Выбираем подходящий корень. Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v = 40 \) км/ч.

Ответ: 40 км/ч