8. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогали- ков посыпал сахарной пудрой. некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. Ответ запишите без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра. 2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14. 4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.

Решение:

Всего рогаликов: 35.

Рогаликов с глазурью: 10.

Рогаликов с сахарной пудрой: 20.

Обозначим:

• G — множество рогаликов с глазурью.
• P — множество рогаликов с сахарной пудрой.
• \(|G| = 10\), \(|P| = 20\).
• \(|G \cup P|\) — общее число рогаликов, у которых есть глазурь или сахарная пудра (или оба).
• \(|G \cap P|\) — число рогаликов, у которых есть и глазурь, и сахарная пудра.
• \(|\overline{G \cup P}|\) — число рогаликов, у которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

Мы знаем, что \(|G \cup P| = |G| + |P| - |G \cap P|\).

Также, общее число рогаликов равно \( 35 \), поэтому \(|G \cup P| ≤ 35\).

Из \(|G ≤ 10\) и \(|P ≤ 20\), максимальное значение \(|G ≤ P| = 10 + 20 = 30\) (если множества не пересекаются).

1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Чтобы найти минимальное число рогаликов с обоими покрытиями (пересечение \(|G ⊂ P|\)), используем формулу:

\(|G ⊂ P| = |G| + |P| - |G ⊂ P|\)

Поскольку \(|G ⊂ P| ≤ 35\), то

\(|G ⊂ P| ≥ |G| + |P| - 35 = 10 + 20 - 35 = -5\). Это неинформативно.

Но мы знаем, что \(|G ⊂ P|\) не может быть больше наименьшего из \(|G|\) и \(|P|\), т.е. \(|G ⊂ P| ≤ 10\).

Чтобы найти минимальное значение \(|G ⊂ P|\):

\( 10 + 20 = 30\) (максимальное количество рогаликов с хотя бы одним покрытием, если пересечение равно 0)

\(35 - 30 = 5\) (минимальное количество рогаликов без покрытия)

\(10 + 20 - 35 = -5\) - это не так.

Используем неравенство:

\(|G ⊂ P| ≥ |G| + |P| - |\text{Всего}| = 10 + 20 - 35 = -5\) - это неверно.

Правильная формула для минимума пересечения:

\( \min(|G ⊂ P|) = \max(0, |G| + |P| - |\text{Всего}|) = \max(0, 10 + 20 - 35) = \max(0, -5) = 0 \). Это минимальное число рогаликов с обоими покрытиями.

Максимальное число рогаликов с обоими покрытиями равно \( \min(|G|, |P|) = \min(10, 20) = 10 \).

Таким образом, количество рогаликов с глазурью и сахарной пудрой \(|G ⊂ P|\) может быть от 0 до 10.

Утверждение 1: «Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра». Это неверно, так как максимум 10.

2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

Минимальное число рогаликов без покрытия \(|\overline{G ⊂ P}|\) равно \( 35 - \max(|G|, |P|) = 35 - 20 = 15 \) (если все с глазурью имеют и пудру).

Максимальное число рогаликов без покрытия равно \( 35 - \min(|G ⊂ P|) \). Если \( |G ⊂ P| = 0 \), то \( |\overline{G ⊂ P}| = 35 - 0 = 35 \).

Используем формулу \(|\overline{G ⊂ P}| = |\text{Всего}| - |G ⊂ P|\).

Минимальное значение \(|G ⊂ P|\) равно 0. Максимальное значение \(|G ⊂ P|\) равно 10.

Значит, \(|\overline{G ⊂ P}|\) может быть от \(35 - 10 = 25\) до \(35 - 0 = 35\).

Или, по формуле \(|\overline{G ⊂ P}| = |\text{Всего}| - |G| - |P| + |G ⊂ P| = 35 - 10 - 20 + |G ⊂ P| = 5 + |G ⊂ P|\).

Минимальное число рогаликов без покрытия: \(5 + 0 = 5\).

Максимальное число рогаликов без покрытия: \(5 + 10 = 15\).

Таким образом, количество рогаликов без покрытия может быть от 5 до 15.

Утверждение 2: «Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры». Это верно, так как 5 — минимальное возможное значение.

3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.

Мы выяснили, что количество рогаликов с обоими покрытиями \(|G ⊂ P|\) может быть от 0 до 10. Утверждение, что оно не может быть меньше 14, неверно.

4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.

Мы выяснили, что количество рогаликов без покрытия \(|\overline{G ⊂ P}|\) может быть от 5 до 15. Утверждение, что оно не может быть больше 15, неверно (может быть равно 15).

Следовательно, верно только утверждение 2.

Ответ: 2