8 класс 3. Из точки K к окружности с центром О проведены две прямые, касающиеся данной окружности в точках М и М. Найдите отрезок КМ, если ОМ = 9 см, ∠MON = 120°.

Решение:

1. По условию, KM и KN — касательные к окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, \( \angle OMK = 90^{\circ} \).

2. \( OM = 9 \) см (радиус окружности).

3. \( \angle MON = 120^{\circ} \). Треугольник MON — равнобедренный (OM=ON=9).

4. Точка K лежит на биссектрисе угла MON, так как касательные из одной точки к окружности равны и равноудалены от центра. Следовательно, \( \angle MOK = \angle NOK = \frac{\angle MON}{2} = \frac{120^{\circ}}{2} = 60^{\circ} \).

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK. Угол \( \angle MOK = 60^{\circ} \), \( OM = 9 \) см.

6. Найдем KM, используя тангенс угла MOK:

\[ \tan(\angle MOK) = \frac{KM}{OM} \] \[ \tan(60^{\circ}) = \frac{KM}{9} \] \[ \sqrt{3} = \frac{KM}{9} \] \[ KM = 9\sqrt{3} \text{ см}. \]

Ответ: \( KM = 9\sqrt{3} \) см.