8) (\(\frac{1}{81}\))^{x^2+1} = 9^{x-5}

Решение:

Приведём обе части уравнения к одному основанию. Заметим, что \( 81 = 9^2 \) и \( \frac{1}{81} = \frac{1}{9^2} = 9^{-2} \).

1. Заменим \( \frac{1}{81} \) на \( 9^{-2} \):
   \( (9^{-2})^{x^2+1} = 9^{x-5} \)
2. Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):
   \( 9^{-2(x^2+1)} = 9^{x-5} \)
   \( 9^{-2x^2-2} = 9^{x-5} \)
3. Приравниваем показатели степеней:
   \( -2x^2-2 = x-5 \)
4. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
   \( 0 = 2x^2 + x - 5 + 2 \)
   \( 2x^2 + x - 3 = 0 \)
5. Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
   \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25 \)
   \( \sqrt{D} = 5 \)
6. Найдём корни:
   \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1 \)
   \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} \)

Ответ: \( x = 1 \) или \( x = -\frac{3}{2} \).