8. Докажите равенство углов KDM и КЕМ, изображенных на рисунке, если DP = PE и DK = KE.

Дано:

• DP = PE
• DK = KE

Доказать:

• \[ \angle KDM = \angle KEM \]

Доказательство:

Рассмотрим треугольники PDK и PEK:

• DP = PE (по условию)
• DK = KE (по условию)
• PK — общая сторона

Следовательно, треугольники PDK и PEK равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны:

• \[ \angle DPK = \angle EPK \]
• \[ \angle DKP = \angle EKP \]
• \[ \angle PDK = \angle PEK \]

Теперь рассмотрим треугольники KDM и KEM:

• KM — общая сторона.
• DK = KE (по условию)
• \[ \angle DKM = \angle EKM \] (так как \[ \angle DKP = \angle EKP \] и угол DKM состоит из угла DKP, а угол EKM состоит из угла EKP)

Следовательно, треугольники KDM и KEM равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников KDM и KEM следует, что их соответствующие углы равны:

• \[ \angle KDM = \angle KEM \]

Что и требовалось доказать.