8. 5^x - 20 * (√5)^x - 125 = 0

Решение:

Данное уравнение можно преобразовать, используя свойства степеней:

\( 5^x - 20 \cdot (5^{1/2})^x - 125 = 0 \)

\( 5^x - 20 \cdot 5^{x/2} - 125 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 5^{x/2} \). Тогда \( y^2 = (5^{x/2})^2 = 5^x \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 - 20y - 125 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-125) = 400 + 500 = 900 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{900} = 30 \)

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 30}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 30}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \)

Теперь вернемся к замене \( y = 5^{x/2} \).

Случай 1: \( y_1 = 25 \)

\( 5^{x/2} = 25 \)

\( 5^{x/2} = 5^2 \)

\( \frac{x}{2} = 2 \)

\( x = 4 \)

Случай 2: \( y_2 = -5 \)

\( 5^{x/2} = -5 \)

Поскольку степень числа с положительным основанием всегда положительна, это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 4.