10. 3^x - 78 * (√3)^x - 243 = 0

Решение:

Преобразуем уравнение, используя свойства степеней:

\( 3^x - 78 \cdot (3^{1/2})^x - 243 = 0 \)

\( 3^x - 78 \cdot 3^{x/2} - 243 = 0 \)

Сделаем замену переменной: пусть \( y = 3^{x/2} \). Тогда \( y^2 = (3^{x/2})^2 = 3^x \).

Уравнение примет вид:

\( y^2 - 78y - 243 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-78)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-243) = 6084 + 972 = 7056 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84 \)

Найдем корни для \( y \):

\( y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{78 + 84}{2} = \frac{162}{2} = 81 \)

\( y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{78 - 84}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь вернемся к замене \( y = 3^{x/2} \).

Случай 1: \( y_1 = 81 \)

\( 3^{x/2} = 81 \)

\( 3^{x/2} = 3^4 \)

\( \frac{x}{2} = 4 \)

\( x = 8 \)

Случай 2: \( y_2 = -3 \)

\( 3^{x/2} = -3 \)

Поскольку степень числа с положительным основанием всегда положительна, это уравнение не имеет решений.

Ответ: x = 8.