704. В треугольнике ABC ∠A = 55°, ∠B = 75°. Найдите угол между высотой и биссектрисой треугольника, проведёнными из вершины С.

Решение:

1. Найдем угол ∠C в треугольнике АВС: ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - (55° + 75°) = 180° - 130° = 50°.
2. Проведем биссектрису СК. Она делит угол ∠C пополам: ∠BCK = ∠ACK = ∠C / 2 = 50° / 2 = 25°.
3. Проведем высоту CH. В прямоугольном треугольнике АНС (или ВНС, в зависимости от расположения), угол ∠ACH или ∠BCH будет зависеть от того, где находится вершина Н.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник СНB. ∠B = 75°. ∠CHB = 90°. Тогда ∠BCH = 180° - 90° - 75° = 15°.
5. Угол между биссектрисой СК и высотой CH равен разности углов ∠BCK и ∠BCH: ∠KCH = ∠BCK - ∠BCH = 25° - 15° = 10°.
6. Или, если считать от угла А: рассмотрим прямоугольный треугольник СНА. ∠A = 55°. ∠CHA = 90°. Тогда ∠ACH = 180° - 90° - 55° = 35°.
7. Угол между биссектрисой СК и высотой CH равен разности углов ∠ACK и ∠ACH: ∠KCH = ∠ACH - ∠ACK = 35° - 25° = 10°.

Ответ: 10°.