701. На стороне АС треугольника АВС отметили точку О так, что ВО = CO. Известно, что внешний угол треугольника АВС при вершине А равен 160° и ∠C = 40°. Докажите, что ВО = CO.

Решение:

1. Внешний угол при вершине А равен 160°, значит, внутренний угол ∠BAC = 180° - 160° = 20°.
2. Сумма углов треугольника АВС равна 180°. Найдем угол ∠B: ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠C = 180° - 20° - 40° = 120°.
3. В треугольнике ВОС стороны ВО и CO равны, значит, он равнобедренный. Углы при основании равны: ∠OBC = ∠OCB.
4. Угол ∠OCB — это тот же угол ∠C треугольника АВС, который равен 40°.
5. Следовательно, ∠OBC = 40°.
6. В треугольнике ВОС: ∠BOC = 180° - ∠OBC - ∠OCB = 180° - 40° - 40° = 100°.
7. Нам нужно доказать, что ВО = CO. Мы знаем, что угол ∠ABC = 120°, а ∠OBC = 40°.
8. Угол ∠ABO = ∠ABC - ∠OBC = 120° - 40° = 80°.
9. Из условия задачи известно, что ВО = CO. Это значит, что треугольник ВОС — равнобедренный с основанием BC. Углы при основании равны, то есть ∠OBC = ∠OCB = 40°.
10. Внешний угол при вершине А равен 160°, значит, внутренний угол ∠BAC = 180° - 160° = 20°.
11. В треугольнике АВС: ∠B = 180° - (∠BAC + ∠C) = 180° - (20° + 40°) = 120°.
12. Угол ∠ABO = ∠ABC - ∠OBC = 120° - 40° = 80°.
13. В треугольнике АВО: ∠AOB = 180° - ∠BAO - ∠ABO = 180° - 20° - 80° = 80°.
14. Так как ∠ABO = ∠AOB = 80°, то треугольник АВО — равнобедренный с основанием АО. Следовательно, АВ = ВО.
15. Нам дано, что ВО = CO.
16. Из того, что АВ = ВО и ВО = CO, следует, что АВ = ВО = CO.
17. Задача требовала доказать, что ВО = CO. Это следует из условия.

Доказано: ВО = CO.