7) Задача При транспортировке грузов используют транспортировочную пирамиду- это устройство для перевозки крупногабаритных и супергабаритных грузов (например. блоков листового стекла) в железнодорожных вагонах. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 3 см. Площадь боковой поверхности равна 80 см². Найдите объем транспортировочной пирамиды.

Решение:

В правильной четырехугольной пирамиде основание — квадрат. Сторона основания \(a = 3\) см.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему (высоту боковой грани): \(S_{бок} = \frac{1}{2} P \cdot l\).

Периметр основания \(P = 4a = 4 \cdot 3 = 12\) см.

Находим апофему \(l\):
\(80 = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot l\)
\(80 = 6l\)
\(l = \frac{80}{6} = \frac{40}{3}\) см.

Теперь найдём высоту пирамиды \(h\). Апофема, высота пирамиды и половина стороны основания образуют прямоугольный треугольник. Апофема — гипотенуза.

\(h^2 + (\frac{a}{2})^2 = l^2\)
\(h^2 + (\frac{3}{2})^2 = (\frac{40}{3})^2\)
\(h^2 + \frac{9}{4} = \frac{1600}{9}\)
\(h^2 = \frac{1600}{9} - \frac{9}{4} = \frac{6400 - 81}{36} = \frac{6319}{36}\)
\(h = \sqrt{\frac{6319}{36}} = \frac{\sqrt{6319}}{6}\) см.

Объем пирамиды находится по формуле: \(V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot h\).

Площадь основания \(S_{осн} = a^2 = 3^2 = 9\) см².

\(V = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{6319}}{6}\)
\(V = 3 \cdot \frac{\sqrt{6319}}{6} = \frac{\sqrt{6319}}{2}\) см³.

Ответ: \(\frac{\sqrt{6319}}{2}\) см³.