7. Вычислите f'(π/6), если f(x) = 2cosx + x^2 - πx/3 + 5

Решение:

1. Найдем производную функции \( f(x) \) по \( x \).
2. Производная \( 2\cos x \) равна \( -2\sin x \).
3. Производная \( x^2 \) равна \( 2x \).
4. Производная \( -\frac{\pi}{3}x \) равна \( -\frac{\pi}{3} \).
5. Производная константы 5 равна 0.
6. Следовательно, производная функции \( f'(x) \) равна:

\( f'(x) = -2\sin x + 2x - \frac{\pi}{3} \)

7. Теперь вычислим значение производной при \( x = \frac{\pi}{6} \):

\( f'(\frac{\pi}{6}) = -2\sin(\frac{\pi}{6}) + 2(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3} \)

8. Значение \( \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \).

\( f'(\frac{\pi}{6}) = -2(\frac{1}{2}) + \frac{2\pi}{6} - \frac{\pi}{3} \)

\( f'(\frac{\pi}{6}) = -1 + \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3} \)

\( f'(\frac{\pi}{6}) = -1 \)

Ответ: -1.