3. Решите уравнение 2sin^2x + 7 cosx - 5 = 0

Решение:

1. Заменим \( \sin^2x \) на \( 1 - \cos^2x \) согласно основному тригонометрическому тождеству:

\( 2(1 - \cos^2x) + 7 \cos x - 5 = 0 \)

2. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( 2 - 2\cos^2x + 7 \cos x - 5 = 0 \)

\( -2\cos^2x + 7 \cos x - 3 = 0 \)

3. Умножим всё уравнение на -1 для удобства:

\( 2\cos^2x - 7 \cos x + 3 = 0 \)

4. Сделаем замену переменной: пусть \( t = \cos x \). Тогда уравнение примет вид:

\( 2t^2 - 7t + 3 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение относительно \( t \) с помощью дискриминанта:

\( D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 \)

\( \sqrt{D} = 5 \)

Найдем корни \( t \):

\( t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3 \)

\( t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \)

6. Вернёмся к замене \( t = \cos x \):
• \( \cos x = 3 \) — это уравнение не имеет решений, так как \( \cos x \) не может быть больше 1.
• \( \cos x = \frac{1}{2} \)
7. Решим уравнение \( \cos x = \frac{1}{2} \):

\( x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

\( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \)

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k \), где \( k \in \mathbb{Z} \).