7. В треугольнике АВС на стороне АС взята точка М так, что АМ : МС = 2 : 3. Параллельно стороне АВ проведена прямая MN (NЄ ВС). Найди MN, если АВ = 15 см.

Решение:

Так как MN || AB, то треугольник CMN подобен треугольнику CAB по первому признаку подобия (по двум углам: \( \angle C \) — общий, \( \angle CMN = \angle CAB \) как соответственные при параллельных прямых AB и MN и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

\( \frac{CM}{CA} = \frac{CN}{CB} = \frac{MN}{AB} \)

По условию \( AM : MC = 2 : 3 \). Это значит, что \( AC = AM + MC \). Если \( AM = 2x \), то \( MC = 3x \), и \( AC = 2x + 3x = 5x \).

Отношение \( \frac{CM}{CA} = \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5} \).

Тогда \( \frac{MN}{AB} = \frac{3}{5} \).

Подставим значение AB = 15 см:

\( \frac{MN}{15} = \frac{3}{5} \)

\( MN = \frac{3}{5} \cdot 15 = 3 \cdot 3 = 9 \) см.

Ответ: MN = 9 см.