7. В треугольнике ABC: AC = BC, AB = 20, высота AH равна 5. Найдите sin A.

Решение:

1. Так как \( AC = BC \), треугольник ABC является равнобедренным. Высота AH проведена к стороне BC.
2. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой. Однако, AH не является высотой, проведенной к основанию AB.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем гипотенуза AB = 20, а катет AH = 5.
4. Для нахождения \( \sin A \) в прямоугольном треугольнике ABH, нам нужен катет BH и гипотенуза AB. У нас есть гипотенуза AB = 20 и катет AH = 5.
5. По теореме Пифагора найдем BH: \( BH^2 = AB^2 - AH^2 = 20^2 - 5^2 = 400 - 25 = 375 \).
6. \( BH = \sqrt{375} = \sqrt{25
   
   
   
   
   15} = 5\sqrt{15} \).
7. Теперь найдем \( \sin A \) в прямоугольном треугольнике ABH: \( \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BH}{AB} \).
8. \( \sin A = \frac{5\sqrt{15}}{20} = \frac{\sqrt{15}}{4} \).

Ответ: \( \frac{\sqrt{15}}{4} \)