4. Найдите площадь квадрата ABCD, считая стороны квадратных клеток равными 1 см.

Решение:

Для нахождения площади квадрата ABCD, изображенного на сетке, определим длину его стороны. Сторона квадрата ABCD состоит из диагоналей клеток. По теореме Пифагора, диагональ одной клетки равна \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) см.

Сторона квадрата ABCD состоит из двух таких диагоналей. Длина стороны квадрата ABCD равна \( 2 \times \sqrt{2} = \sqrt{8} \) см.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны:

\( S = (\sqrt{8})^2 = 8 \) см².

Альтернативный способ:

Квадрат ABCD занимает 8 полных клеток, если разрезать по диагоналям. Или можно посчитать, что квадрат ABCD занимает 2 клетки по горизонтали и 2 по вертикали, т.е. 4 клетки. Но это не так. Квадрат ABCD состоит из 4 треугольников. Каждый треугольник является половиной клетки. Значит, площадь всего квадрата равна 2 клеткам. Так как сторона клетки 1 см, то площадь 1 клетки равна 1 см². Следовательно, площадь квадрата ABCD равна 2 см².

Уточнение: На рисунке квадрат ABCD построен так, что его вершины находятся на середине сторон клеток. Пусть сторона клетки равна 1. Тогда координаты вершин квадрата ABCD относительно центра сетки могут быть (0.5, 0), (0, 0.5), (-0.5, 0), (0, -0.5). Длина стороны квадрата AB = \( \sqrt{(0.5-0)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0.25 + 0.25} = \sqrt{0.5} \). Площадь квадрата = \( (\sqrt{0.5})^2 = 0.5 \) клетки. Так как сторона клетки равна 1 см, то площадь 1 клетки равна 1 см². Площадь квадрата ABCD = \( 0.5 \times 1 \text{ см}^2 = 0.5 \text{ см}^2 \). Однако, если считать, что вершины находятся в точках (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) относительно центра, то длина стороны будет \( \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2} \) см, и площадь будет \( (\sqrt{2})^2 = 2 \) см². Судя по рисунку, вершины квадрата ABCD находятся на середине сторон клеток. Если принять сторону клетки за 1 см, то площадь квадрата ABCD составляет 2 клетки. Длина диагонали клетки \( \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2} \). Квадрат ABCD имеет диагонали, равные 2. Площадь квадрата \( \frac{1}{2}d_1 d_2 = \frac{1}{2}




2




2 = 2 \) см².

Ответ: 2 см².