7. В прямоугольном треугольнике АВС точка М является серединой гипотенузы АВ. Найдите \(\angle\) ACM, если \(\angle\) CMB = 80°.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \) медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. То есть \( CM = AM = BM \).

Рассмотрим \( \triangle CMB \).

Так как \( CM = BM \), \( \triangle CMB \) — равнобедренный.

\( \angle MCB = \angle CMB \) (углы при основании).

\( \angle MCB = \frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ} \)

Рассмотрим \( \triangle AMC \).

Так как \( CM = AM \), \( \triangle AMC \) — равнобедренный.

\( \angle MAC = \angle MCA \) (углы при основании).

\( \angle MAC = \angle BAC \) (так как \( \angle BAC \) — угол \( \triangle ABC \)).

\( \angle BAC = 90^{\circ} - \angle ABC \).

В \( \triangle CMB \): \( \angle CBM = 180^{\circ} - 80^{\circ} - 50^{\circ} = 50^{\circ} \). Следовательно, \( \angle ABC = 50^{\circ} \).

Тогда \( \angle BAC = 90^{\circ} - 50^{\circ} = 40^{\circ} \).

Из того, что \( \triangle AMC \) равнобедренный:

\( \angle MCA = \angle MAC = 40^{\circ} \).

\( \angle ACM = \angle MCA = 40^{\circ} \).

Ответ: \( 40^{\circ} \).