7. В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.

Задание 7

Дано: Окружность с центром в точке О, AD и BC — диаметры, \( ∠OAB = 70^° \).

Найти: \( ∠OCD \).

Решение:

1. Треугольник AOB является равнобедренным, так как OA и OB — радиусы окружности. Следовательно, \( ∠OAB = ∠OBA = 70^° \).

2. Угол BOC является смежным с углом AOB. Сумма смежных углов равна 180°. Поэтому \( ∠BOC = 180^° - ∠AOB \). Найдем \( ∠AOB \) из треугольника AOB: \( ∠AOB = 180^° - (∠OAB + ∠OBA) = 180^° - (70^° + 70^°) = 180^° - 140^° = 40^° \).

3. Теперь найдем \( ∠BOC \): \( ∠BOC = 180^° - 40^° = 140^° \).

4. Треугольник COD является равнобедренным, так как OC и OD — радиусы окружности. Следовательно, \( ∠OCD = ∠ODC \).

5. Угол COD равен углу AOB как вертикальные углы. Значит, \( ∠COD = ∠AOB = 40^° \).

6. В равнобедренном треугольнике COD, сумма углов равна 180°. Следовательно, \( ∠OCD = ∠ODC = \frac{180^° - ∠COD}{2} = \frac{180^° - 40^°}{2} = \frac{140^°}{2} = 70^° \).

Альтернативный путь:

1. Угол OAC равен 70°. Треугольник OAC является равнобедренным (OA=OC - радиусы), значит \( ∠OCA = ∠OAC = 70^° \). Это неверно, так как AC не является диаметром.

1. Угол OAB = 70°. OA = OB (радиусы), значит \( ∠OBA = 70^° \). \( ∠AOB = 180^° - (70^° + 70^°) = 40^° \).

2. Угол AOC смежный с углом BOC. Угол BOC = 180 - 40 = 140. Угол AOD = 180. Угол COD = 180 - 140 = 40. Это неверно.

3. AD и BC - диаметры. Значит, \( ∠AOC \) и \( ∠BOD \) — вертикальные углы, а \( ∠AOB \) и \( ∠COD \) — вертикальные углы. Также \( ∠AOB + ∠BOC = 180^° \).

4. \( ∠OAB = 70^° \). OA = OB (радиусы), значит \( ∠OBA = 70^° \). \( ∠AOB = 180^° - (70^° + 70^°) = 40^° \).

5. \( ∠COD \) — вертикальный к \( ∠AOB \), значит \( ∠COD = 40^° \).

6. Треугольник COD — равнобедренный, так как OC = OD (радиусы). Сумма углов в треугольнике 180°. \( ∠OCD = ∠ODC = \frac{180^° - ∠COD}{2} = \frac{180^° - 40^°}{2} = \frac{140^°}{2} = 70^° \).

Ответ: 70.