7. В окружности с центром О проведены два диаметра КМ и ТР. Сделайте рисунок к задаче и докажите равенство хорд ТМ и КР.

Решение:

Рисунок:

Нарисуем окружность с центром в точке О. Проведем два диаметра КМ и ТР так, чтобы они пересекались в центре О. Соединим точки Т и М, а также К и Р отрезками, чтобы получить хорды ТМ и КР.

<svg width='200' height='200' xmlns='http://www.w3.org/2000/svg'><circle cx='100' cy='100' r='80' stroke='black' stroke-width='2' fill='none'/><line x1='20' y1='100' x2='180' y2='100' stroke='black' stroke-width='1'/><!-- Диаметр KM --><line x1='100' y1='20' x2='100' y2='180' stroke='black' stroke-width='1'/><!-- Диаметр TR --><!-- Точки --><circle cx='20' cy='100' r='3' fill='red'/><text x='10' y='115' font-size='12' fill='red'>K</text><circle cx='180' cy='100' r='3' fill='blue'/><text x='185' y='115' font-size='12' fill='blue'>M</text><circle cx='100' cy='20' r='3' fill='green'/><text x='115' y='20' font-size='12' fill='green'>T</text><circle cx='100' cy='180' r='3' fill='purple'/><text x='115' y='195' font-size='12' fill='purple'>P</text><!-- Хорды --><line x1='100' y1='20' x2='180' y2='100' stroke='orange' stroke-width='1'/><text x='140' y='60' font-size='12' fill='orange'>TM</text><line x1='20' y1='100' x2='100' y2='180' stroke='brown' stroke-width='1'/><text x='60' y='150' font-size='12' fill='brown'>KP</text><circle cx='100' cy='100' r='3' fill='black'/><text x='115' y='115' font-size='12'>O</text></svg>

Доказательство:

Рассмотрим треугольники △TOM и △POK.

1. KM и TR — диаметры окружности, следовательно, они проходят через центр O.

2. OT = OR (радиусы окружности).

3. OK = OM (радиусы окружности).

4. Углы ∠ TOM и ∠ ROK являются вертикальными углами, поэтому они равны.

\( ∠ TOM = ∠ ROK \)

5. По двум сторонам и углу между ними (признак равенства треугольников), треугольники △TOM и △ROK равны:

\( ∠ TOM = ∠ ROK \)

OT = OR (как радиусы)

OM = OK (как радиусы)

Следовательно, △TOM = △ROK.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. Хорда TM является стороной △TOM, а хорда RK (или КР) является стороной △ROK.

Значит, TM = RK.

Вывод: хорды ТМ и КР равны.