6. В прямоугольном ДАВС с прямым углом С проведена высота СН. Известно, что катет АС равен 7 см, ∠ABC = 30°. Чему равна длина гипотенузы АВ и отрезка ВН?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( ∠ C = 90^° \)

\( AC = 7 \) см

\( ∠ ABC = 30^° \)

1. Найдём гипотенузу AB:

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. В нашем случае катет AC противолежит углу ABC (30°).

\( AC = \frac{1}{2} AB \)

\( AB = 2 \cdot AC = 2 \cdot 7 \) см = \( 14 \) см

2. Найдём длину отрезка BH:

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( ∠ BAC = 90^° - ∠ ABC = 90^° - 30^° = 60^° \)

В прямоугольном треугольнике CBH:

\( ∠ CHB = 90^° \)

\( ∠ BCH = 90^° - ∠ CBH \)

Мы знаем, что \( ∠ ABC = 30^° \). Для треугольника CBH нам нужен угол \( ∠ CBH \), который равен \( ∠ ABC \) = 30°.

Чтобы найти BH, нам нужно найти BC.

Используем теорему Пифагора в \(△ ABC\):

\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( 14^2 = 7^2 + BC^2 \)

\( 196 = 49 + BC^2 \)

\( BC^2 = 196 - 49 = 147 \)

\( BC = √{147} = √{49 \cdot 3} = 7√{3} \) см

Теперь в прямоугольном треугольнике CBH, где \( ∠ CBH = 30^° \) и \( BC = 7√{3} \) см (гипотенуза):

Катет BH прилежит к углу 30°.

\( ∠ BCH = 90^° - 30^° = 60^° \)

Найдем BH, используя косинус угла B:

\( ∠ ABC = 30^° \)

\( ∠ BAC = 60^° \)

В \(△ ABC\):

\( ∠ C = 90^° \)

\( ∠ B = 30^° \)

\( ∠ A = 60^° \)

AC = 7 см (катет, противолежащий \( ∠ B \)).

AB = 14 см (гипотенуза).

BC = \( 7√{3} \) см (катет, противолежащий \( ∠ A \)).

Высота CH. В \(△ CBH\):

\( ∠ CHB = 90^° \)

\( ∠ CBH = 30^° \)

BC = \( 7√{3} \) (гипотенуза)

BH — катет, прилежащий к углу 30°.

\( BH = BC ⋅ ⁡ ⁡ \cos(30^°) = 7√{3} ⋅ \frac{√{3}}{2} = 7 ⋅ \frac{3}{2} = \frac{21}{2} = 10.5 \) см

Ответ: Гипотенуза AB равна 14 см, отрезок BH равен 10.5 см.