7. Решить однородное уравнение первой степени: a) \(\sqrt{3}\text{cosx} + \text{sinx} = 0\); б) 5cosx + 2sinx = 0.

Краткое пояснение:

Однородные уравнения первой степени вида \( a ext{cosx} + b ext{sinx} = 0 \) решаются делением обеих частей на \( ext{cos}x \) (при условии \( ext{cosx}
e 0 \)), что приводит к уравнению относительно \( ext{tg}x \).

Пошаговое решение:

1. a) \(\sqrt{3}\text{cosx} + \text{sinx} = 0\)
   Проверим, является ли \( ext{cosx} = 0 \) решением. Если \( ext{cosx} = 0 \), то \( x = \frac{\pi}{2} + \pi n \). В этом случае \( ext{sinx} = \pm 1 \). Подставляя в уравнение: \( \sqrt{3} \cdot 0 + (\pm 1) = 0 \), что неверно. Значит, \( ext{cosx}
   e 0 \).
   Разделим обе части уравнения на \( ext{cosx} \):
   \( \frac{\sqrt{3}\text{cosx}}{\text{cosx}} + \frac{\text{sinx}}{\text{cosx}} = 0 \)
   \( \sqrt{3} + \text{tgx} = 0 \)
   \( \text{tgx} = -\sqrt{3} \)
   \( x = \text{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi k \)
   \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi k \), где k — целое число.
2. б) 5cosx + 2sinx = 0
   Аналогично, \( ext{cosx}
   e 0 \). Разделим обе части уравнения на \( ext{cosx} \):
   \( \frac{5\text{cosx}}{\text{cosx}} + \frac{2\text{sinx}}{\text{cosx}} = 0 \)
   \( 5 + 2\text{tgx} = 0 \)
   \( 2\text{tgx} = -5 \)
   \( \text{tgx} = -\frac{5}{2} \)
   \( x = \text{arctg}\left(-\frac{5}{2}\right) + \pi n \)
   \( x = -\text{arctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n \), где n — целое число.

Ответ: а) \( x = -\frac{\pi}{3} + \pi k \); б) \( x = -\text{arctg}\left(\frac{5}{2}\right) + \pi n \), где k, n — целые числа.