5. Найдите значение выражения \(\sqrt{8\cos^2\frac{3\pi}{8}} - \sqrt{8\sin^2\frac{3\pi}{8}}\).

Краткое пояснение:

Для решения задачи используем свойства квадратного корня и формулу понижения степени.

Пошаговое решение:

1. Упрощаем выражение под корнями:
   \( \sqrt{8\cos^2\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{\cos^2\frac{3\pi}{8}} = 2\sqrt{2} \cdot |\cos\frac{3\pi}{8}| \).
   \( \sqrt{8\sin^2\frac{3\pi}{8}} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{\sin^2\frac{3\pi}{8}} = 2\sqrt{2} \cdot |\sin\frac{3\pi}{8}| \).
   Угол \( \frac{3\pi}{8} \) находится в первой четверти (так как \( 0 < \frac{3\pi}{8} < \frac{\pi}{2} \)), поэтому косинус и синус этого угла положительны.
   \( \cos\frac{3\pi}{8} > 0 \) и \( \sin\frac{3\pi}{8} > 0 \).
   Таким образом, выражение принимает вид: \( 2\sqrt{2} \cos\frac{3\pi}{8} - 2\sqrt{2} \sin\frac{3\pi}{8} = 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8} \right) \).
2. Используем формулу понижения степени для \(\cos^2\alpha\) и \(\sin^2\alpha\):
   \( \cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2} \), \( \sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2} \).
   \( \cos^2\frac{3\pi}{8} = \frac{1 + \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8})}{2} = \frac{1 + \cos\frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \).
   \( \sin^2\frac{3\pi}{8} = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8})}{2} = \frac{1 - \cos\frac{3\pi}{4}}{2} = \frac{1 - (-\frac{\sqrt{2}}{2})}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \).
3. Подставляем полученные значения:
   \( \cos\frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \).
   \( \sin\frac{3\pi}{8} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \).
4. Подставляем в исходное выражение:
   \( 2\sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right) = \sqrt{2} \left( \sqrt{2 - \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2}} \right) \).
5. Альтернативный подход:
   Раскроем скобки: \( 2\sqrt{2} \cos\frac{3\pi}{8} - 2\sqrt{2} \sin\frac{3\pi}{8} \).
   Можно воспользоваться формулой \( R\cos(x+\alpha) \) или \( R\sin(x+\alpha) \).
   \( 2\sqrt{2}\cos\frac{3\pi}{8} - 2\sqrt{2}\sin\frac{3\pi}{8} \) = \( 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\frac{3\pi}{8} - \frac{1}{\sqrt{2}}\sin\frac{3\pi}{8} \right) \) = \( 4 \left( \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{3\pi}{8} \right) \) = \( 4\cos(\frac{\pi}{4} + \frac{3\pi}{8}) \) = \( 4\cos(\frac{2\pi + 3\pi}{8}) \) = \( 4\cos(\frac{5\pi}{8}) \).
   \( \cos(\frac{5\pi}{8}) = \cos(\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\cos(\frac{3\pi}{8}) \).
   \( \cos\frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \).
   \( 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) = -2\sqrt{2 - \sqrt{2}} \).
   Проверим знак: \( \frac{3\pi}{8} \) находится во второй четверти, косинус отрицательный, синус положительный.
   \( 2\sqrt{2} \cos\frac{3\pi}{8} - 2\sqrt{2} \sin\frac{3\pi}{8} \).
   \( \cos\frac{3\pi}{8} > 0 \), \( \sin\frac{3\pi}{8} > 0 \).
   \( \frac{3\pi}{8} \) немного меньше \( \frac{\pi}{2} \), но больше \( \frac{\pi}{4} \), поэтому \( \sin\frac{3\pi}{8} > \cos\frac{3\pi}{8} \).
   Значит, \( \cos\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8} < 0 \).
   Итоговое выражение \( 2\sqrt{2} \left( \cos\frac{3\pi}{8} - \sin\frac{3\pi}{8} \right) \) будет отрицательным.
6. Вычисление значения \(\cos(\frac{5\pi}{8})\):
   \( \frac{5\pi}{8} \) находится во второй четверти, значит \( \cos(\frac{5\pi}{8}) < 0 \).
   \( \cos(\frac{5\pi}{8}) = \cos(\pi - \frac{3\pi}{8}) = -\cos(\frac{3\pi}{8}) \).
   \( \cos\frac{3\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \).
   \( \cos(\frac{5\pi}{8}) = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \).
   \( 4\cos(\frac{5\pi}{8}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}) = -2\sqrt{2 - \sqrt{2}} \).

Ответ: -2\(\sqrt{2 - \sqrt{2}}\).