7. Решить неравенство: (1/7)^(1-3x) ≤ (1/49)^(x+3)

Решение:

Для решения неравенства приведем обе части к одному основанию. Заметим, что \( \frac{1}{49} = \left( \frac{1}{7} \right)^2 \).

1. Перепишем неравенство с одинаковым основанием \( \frac{1}{7} \): \( \left( \frac{1}{7} \right)^{1-3x} \le \left( \left( \frac{1}{7} \right)^2 \right)^{x+3} \).
2. Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{mn} \): \( \left( \frac{1}{7} \right)^{1-3x} \le \left( \frac{1}{7} \right)^{2(x+3)} \).
3. Раскроем скобки во второй степени: \( \left( \frac{1}{7} \right)^{1-3x} \le \left( \frac{1}{7} \right)^{2x+6} \).
4. Поскольку основание степени \( \frac{1}{7} \) меньше 1, при переходе от степеней к показателям знак неравенства меняется на противоположный: \( 1 - 3x \ge 2x + 6 \).
5. Решим полученное линейное неравенство:
• Перенесем члены с \( x \) в одну сторону, а константы — в другую: \( -3x - 2x \ge 6 - 1 \).
• Упростим: \( -5x \ge 5 \).
• Разделим обе части на \( -5 \) и сменим знак неравенства: \( x \le \frac{5}{-5} \), что дает \( x \le -1 \).

Ответ: \( x \le -1 \).