7. Преобразуйте выражение \(\frac{2}{a-2}\) + \(\frac{a+2}{a^2-10a+25}\) ∙ \(\frac{6a-30}{a^2-4}\)

Решение:

1. Разложим знаменатели на множители:
• \( a^2 - 10a + 25 = (a-5)^2 \)
• \( a^2 - 4 = (a-2)(a+2) \)
2. Вынесем общий множитель из числителя \( 6a-30 \): \( 6a - 30 = 6(a-5) \)
3. Подставим разложенные выражения в исходное: \[ \frac{2}{a-2} + \frac{a+2}{(a-5)^2} \cdot \frac{6(a-5)}{(a-2)(a+2)} \]
4. Сократим дробь во втором слагаемом: \( \frac{a+2}{(a-5)^2} \cdot \frac{6(a-5)}{(a-2)(a+2)} = \frac{6}{(a-5)(a-2)} \)
5. Теперь выражение выглядит так: \[ \frac{2}{a-2} + \frac{6}{(a-5)(a-2)} \]
6. Приведём к общему знаменателю \( (a-5)(a-2) \): \[ \frac{2(a-5)}{(a-2)(a-5)} + \frac{6}{(a-5)(a-2)} \]
7. Сложим числители: \[ \frac{2a - 10 + 6}{(a-2)(a-5)} = \frac{2a - 4}{(a-2)(a-5)} \]
8. Вынесем \( 2 \) из числителя: \[ \frac{2(a - 2)}{(a-2)(a-5)} \]
9. Сократим \( (a-2) \), при условии \( a \neq 2 \) и \( a \neq 5 \).

Ответ: \( \frac{2}{a-5} \).