7. Образующая конуса составляет с плоскостью основания угол 45°, высота конуса равна 3√2 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Задание 7. Площадь боковой поверхности конуса

Дано:

• Высота конуса \( h = 3\sqrt{2} \) см.
• Угол между образующей и плоскостью основания \( = 45^{°} \).

Найти: Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок} \).

Решение:

1. Площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле: \[ S_{бок} = \pi R l \], где \( R \) – радиус основания, \( l \) – образующая конуса.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса \( h \), радиусом основания \( R \) и образующей \( l \). Угол между образующей и плоскостью основания равен 45°.
3. В этом треугольнике: \( h = 3\sqrt{2} \) см.
4. Так как угол равен 45°, то треугольник прямоугольный и равнобедренный, следовательно, \( R = h \).
5. \[ R = 3\sqrt{2} \] см.
6. Найдем образующую \( l \) по теореме Пифагора: \[ l^2 = R^2 + h^2 \] \[ l^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = (9 \cdot 2) + (9 \cdot 2) = 18 + 18 = 36 \]
7. \[ l = \sqrt{36} = 6 \] см.
8. Теперь вычислим площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = \pi R l = \pi \cdot (3\sqrt{2}) \cdot 6 = 18\sqrt{2} \pi \] см².

Ответ: $$18\sqrt{2}\pi$$ см².