7. Найти углы тупоугольного равнобедренного треугольника, если градусные меры двух из них относятся как 2: 5.

Задание 7

Дано:

• Тупоугольный равнобедренный треугольник.
• Градусные меры двух углов относятся как 2: 5.

Найти: углы треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Возможны два случая:

Случай 1: Углы при основании относятся как 2: 5.

1. Пусть углы при основании равны \( 2x \) и \( 2x \), а третий (вершинный) угол равен \( 5x \).
2. Сумма углов треугольника: \( 2x + 2x + 5x = 180° \).
3. \( 9x = 180° \).
4. \( x = 20° \).
5. Углы при основании: \( 2x = 2 × 20° = 40° \).
6. Вершинный угол: \( 5x = 5 × 20° = 100° \).
7. Углы треугольника: 40°, 40°, 100°. Этот треугольник тупоугольный (есть угол больше 90°).

Случай 2: Один угол при основании и вершинный угол относятся как 2: 5.

1. Пусть угол при основании равен \( 2x \). Тогда второй угол при основании тоже равен \( 2x \).
2. Вершинный угол равен \( 5x \).
3. Этот случай уже рассмотрен выше.

Случай 3: Вершинный угол и один из углов при основании относятся как 2: 5.

1. Пусть вершинный угол равен \( 2x \).
2. Углы при основании равны \( 5x \) каждый.
3. Сумма углов треугольника: \( 2x + 5x + 5x = 180° \).
4. \( 12x = 180° \).
5. \( x = 15° \).
6. Вершинный угол: \( 2x = 2 × 15° = 30° \).
7. Углы при основании: \( 5x = 5 × 15° = 75° \).
8. Углы треугольника: 30°, 75°, 75°. Этот треугольник остроугольный (все углы меньше 90°). Этот случай не подходит, так как по условию треугольник тупоугольный.

Случай 4: Углы относятся как 5: 2.

1. Пусть углы при основании равны \( 5x \) и \( 5x \), а третий (вершинный) угол равен \( 2x \).
2. Сумма углов треугольника: \( 5x + 5x + 2x = 180° \).
3. \( 12x = 180° \).
4. \( x = 15° \).
5. Углы при основании: \( 5x = 5 × 15° = 75° \).
6. Вершинный угол: \( 2x = 2 × 15° = 30° \).
7. Углы треугольника: 75°, 75°, 30°. Этот треугольник остроугольный. Не подходит.

Случай 5: Вершинный угол и угол при основании относятся как 5: 2.

1. Пусть вершинный угол равен \( 5x \).
2. Тогда углы при основании равны \( 2x \) каждый.
3. Этот случай рассмотрен в Случае 1.

Случай 6: Угол при основании и вершинный угол относятся как 5: 2.

1. Пусть угол при основании равен \( 5x \).
2. Вершинный угол равен \( 2x \).
3. Этот случай рассмотрен в Случае 4.

Единственный вариант, который дает тупоугольный равнобедренный треугольник, — это когда углы равны 40°, 40°, 100°.

Ответ: 40°, 40°, 100°.