7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции: f(x) = x³ + 3x² – 9x + 2 на отрезке [-4; 0]

Решение:

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции на заданном отрезке, необходимо:

1. Найти производную функции: \( f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x + 2)' = 3x^2 + 6x - 9 \).
2. Найти критические точки, приравняв производную к нулю: \( 3x^2 + 6x - 9 = 0 \). Разделим на 3: \( x^2 + 2x - 3 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение: \( x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \).
4. Получаем две критические точки: \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \) и \( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \).
5. Проверим, принадлежат ли критические точки заданному отрезку \( [-4; 0] \). Точка \( x_1 = 1 \) не принадлежит отрезку. Точка \( x_2 = -3 \) принадлежит отрезку.
6. Вычислим значения функции в критической точке, принадлежащей отрезку, и на концах отрезка:
   • \( f(-4) = (-4)^3 + 3(-4)^2 - 9(-4) + 2 = -64 + 3(16) + 36 + 2 = -64 + 48 + 36 + 2 = 22 \)
   • \( f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 2 = -27 + 3(9) + 27 + 2 = -27 + 27 + 27 + 2 = 29 \)
   • \( f(0) = (0)^3 + 3(0)^2 - 9(0) + 2 = 0 + 0 - 0 + 2 = 2 \)
7. Сравним полученные значения: 22, 29, 2. Наибольшее значение равно 29, наименьшее — 2.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 29, наименьшее значение равно 2.