7. Найдите значение выражения (\(\left(\frac{2x^2}{a^3}\right)^4 \cdot \left(\frac{a^5}{4x^4}\right)^2\)) при a = \(\frac{1}{3}\) и x = \(\frac{\sqrt{5}}{6}\).

Решение:

1. Упростим выражение:

   Сначала раскроем степени:

   \[ \left(\frac{2x^2}{a^3}\right)^4 = \frac{(2x^2)^4}{(a^3)^4} = \frac{16x^8}{a^{12}} \]\[ \left(\frac{a^5}{4x^4}\right)^2 = \frac{(a^5)^2}{(4x^4)^2} = \frac{a^{10}}{16x^8} \]

   Теперь перемножим полученные выражения:

   \[ \frac{16x^8}{a^{12}} \cdot \frac{a^{10}}{16x^8} = \frac{16x^8  a^{10}}{a^{12}  16x^8} \]

   Сократим одинаковые множители:

   \[ \frac{\cancel{16} \cancel{x^8}}{\cancel{a^{12}}5}  \cancel{a^{10}} = \frac{1}{a^2} \]
2. Подставим значения a и x:

   Нам дано, что \(a = \frac{1}{3}\). Значит, \(a^2 = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}\).

3. Найдем значение выражения:\[ \frac{1}{a^2} = \frac{1}{\frac{1}{9}} = 9 \]

Ответ: 9