7 Найдите значение выражения (9a^2 - 1/16b^2) * (3a - 1/4b) при a = 2/3 и b = -1/12. Ответ:

Это задание на преобразование алгебраических выражений и подстановку значений.

Шаг 1: Преобразуем выражение.

Заметим, что выражение \(9a^2 - \frac{1}{16}b^2\) является разностью квадратов, так как \(9a^2 = (3a)^2\) и \(\frac{1}{16}b^2 = (\frac{1}{4}b)^2\).

Формула разности квадратов: \(x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)\).

Применяя эту формулу, получаем:

• \(9a^2 - \frac{1}{16}b^2 = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)\)

Теперь подставим это в исходное выражение:

• \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) \times (3a - \frac{1}{4}b) = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)(3a - \frac{1}{4}b)\)
• \(= (3a - \frac{1}{4}b)^2 (3a + \frac{1}{4}b)\)

Внимание! В условии задачи написано: \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) \times (3a - \frac{1}{4}b)\). Возможно, была опечатка и второе выражение должно быть \((3a + \frac{1}{4}b)\) или наоборот. Но если строго по условию, то мы имеем:

\( \text{Выражение} = (9a^2 - \frac{1}{16}b^2) \times (3a - \frac{1}{4}b) \)

Мы знаем, что \(9a^2 - \frac{1}{16}b^2 = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)\). Подставим это:

\( \text{Выражение} = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)(3a - \frac{1}{4}b) = (3a - \frac{1}{4}b)^2 (3a + \frac{1}{4}b) \)

Шаг 2: Подставим значения \(a = \frac{2}{3}\) и \(b = -\frac{1}{12}\).

Сначала вычислим значения \(3a\) и \(\frac{1}{4}b\):

• \(3a = 3 \times \frac{2}{3} = 2\)
• \(\frac{1}{4}b = \frac{1}{4} \times (-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{48}\)

Теперь подставим эти значения в преобразованное выражение:

• \(3a - \frac{1}{4}b = 2 - (-\frac{1}{48}) = 2 + \frac{1}{48} = \frac{96}{48} + \frac{1}{48} = \frac{97}{48}\)
• \(3a + \frac{1}{4}b = 2 + (-\frac{1}{48}) = 2 - \frac{1}{48} = \frac{96}{48} - \frac{1}{48} = \frac{95}{48}\)

Теперь вычислим значение всего выражения:

• \( (3a - \frac{1}{4}b)^2 (3a + \frac{1}{4}b) = (\frac{97}{48})^2 \times \frac{95}{48} \)

Перепроверка условия. Возможно, в условии имелось в виду \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) : (3a - \frac{1}{4}b)\) или \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) : (3a + \frac{1}{4}b)\), или же \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) \times (3a + \frac{1}{4}b)\). Если исходное выражение такое, как написано, то результат будет очень громоздким.

Предположим, что во втором множителе была опечатка и должно быть \((3a + \frac{1}{4}b)\), тогда выражение будет:

\( (9a^2 - \frac{1}{16}b^2) \times (3a + \frac{1}{4}b) = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b) = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)^2 \)

Тогда подставим значения:

• \( (\frac{97}{48}) \times (\frac{95}{48})^2 \)

Если же было деление: \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) : (3a - \frac{1}{4}b)\)

\( \frac{(3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)}{(3a - \frac{1}{4}b)} = 3a + \frac{1}{4}b = 2 + (-\frac{1}{48}) = \frac{95}{48} \)

Если же было деление: \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) : (3a + \frac{1}{4}b)\)

\( \frac{(3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)}{(3a + \frac{1}{4}b)} = 3a - \frac{1}{4}b = 2 - (-\frac{1}{48}) = \frac{97}{48} \)

Учитывая, что обычно в таких заданиях ответ получается более простым, предположим, что имелось в виду деление, а не умножение. Если принять, что второе выражение должно было быть \((3a + \frac{1}{4}b)\) и знак действия - умножение, то:

\((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) \times (3a + \frac{1}{4}b) = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b) = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)^2\)

\( \text{Подставляем значения:} (2 - (-\frac{1}{48})) \times (2 + (-\frac{1}{48}))^2 = (2 + \frac{1}{48}) \times (2 - \frac{1}{48})^2 = \frac{97}{48} \times (\frac{95}{48})^2 \)

Если же в задании было: \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) : (3a + \frac{1}{4}b)\), то:

\( \frac{(3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)}{3a + \frac{1}{4}b} = 3a - \frac{1}{4}b = 2 - (-\frac{1}{48}) = 2 + \frac{1}{48} = \frac{97}{48} \)

Если же в задании было: \((9a^2 - \frac{1}{16}b^2) : (3a - \frac{1}{4}b)\), то:

\( \frac{(3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)}{3a - \frac{1}{4}b} = 3a + \frac{1}{4}b = 2 + (-\frac{1}{48}) = 2 - \frac{1}{48} = \frac{95}{48} \)

Исходя из стандартных заданий, наиболее вероятно, что имелось в виду деление. Если брать второе выражение как \((3a - \frac{1}{4}b)\), то результат \(\frac{95}{48}\). Если второе выражение как \((3a + \frac{1}{4}b)\), то результат \(\frac{97}{48}\).

Давайте выполним вычисление для случая деления на \((3a - \frac{1}{4}b)\):

\( 3a - \frac{1}{4}b = 2 - (-\frac{1}{48}) = \frac{97}{48} \)

\( 9a^2 - \frac{1}{16}b^2 = (3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b) \)

\( 3a + \frac{1}{4}b = 2 + (-\frac{1}{48}) = \frac{95}{48} \)

\( \frac{(9a^2 - \frac{1}{16}b^2)}{(3a - \frac{1}{4}b)} = \frac{(3a - \frac{1}{4}b)(3a + \frac{1}{4}b)}{(3a - \frac{1}{4}b)} = 3a + \frac{1}{4}b = \frac{95}{48} \)

Ответ: 95/48