7. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = x² + 2, прямыми x = a и x = b, осью абсцисс, если a = 1 и b = 2.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится с помощью определенного интеграла.

1. Функция: \( y = x^2 + 2 \).
2. Пределы интегрирования: \( a = 1 \) и \( b = 2 \).
3. Найдём первообразную функции \( y = x^2 + 2 \): \( F(x) = \frac{x^3}{3} + 2x \).
4. Вычислим определенный интеграл: \( S = \int_{1}^{2} (x^2+2) dx = F(2) - F(1) \).
5. \( F(2) = \frac{2^3}{3} + 2 \cdot 2 = \frac{8}{3} + 4 = \frac{8 + 12}{3} = \frac{20}{3} \).
6. \( F(1) = \frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1 = \frac{1}{3} + 2 = \frac{1 + 6}{3} = \frac{7}{3} \).
7. \( S = \frac{20}{3} - \frac{7}{3} = \frac{13}{3} \).

Ответ: \(\frac{13}{3}\)