7. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y = x² + 1, прямыми x = a и x = b, осью абсцисс, если a = 2 и b = 3.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции находится с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) dx \]

В данном случае \( f(x) = x^2 + 1 \), \( a = 2 \) и \( b = 3 \).

\[ S = \int_{2}^{3} (x^2 + 1) dx \]

Найдем первообразную для функции \( x^2 + 1 \):

\[ F(x) = \frac{x^3}{3} + x \]

Теперь вычислим определенный интеграл, подставив пределы интегрирования:

\[ S = F(3) - F(2) = \left( \frac{3^3}{3} + 3 \right) - \left( \frac{2^3}{3} + 2 \right) \]

\[ S = \left( \frac{27}{3} + 3 \right) - \left( \frac{8}{3} + 2 \right) = (9 + 3) - \left( \frac{8}{3} + \frac{6}{3} \right) = 12 - \frac{14}{3} \]

\[ S = \frac{36}{3} - \frac{14}{3} = \frac{22}{3} \]

Ответ: \(\frac{22}{3}\)