7. Найдите площадь фигуры, ограниченными линиями 1-х², осью Ох

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = 1 - x² и осью Ox (y = 0), нужно найти точки пересечения параболы с осью Ox, а затем вычислить определенный интеграл от функции в пределах этих точек.

1. Находим точки пересечения с осью Ox:
   Приравниваем уравнение параболы к нулю: 1 - x² = 0.
   x² = 1.
   Корни уравнения: x = -1 и x = 1. Это и будут пределы интегрирования.
2. Определяем, где парабола находится выше оси Ox:
   Парабола y = 1 - x² имеет ветви, направленные вниз (коэффициент при x² отрицательный). На интервале между корнями (от -1 до 1) она находится выше оси Ox.
3. Составляем интеграл:
   Площадь (S) = ∫₋¹¹ (1 - x²) dx
4. Вычисляем интеграл:
   Первообразная для 1 — это x.
   Первообразная для -x² — это -x³/3.
   S = [x - x³/3]⁼¹¹
   S = (1 - 1³/3) - (-1 - (-1)³/3)
   S = (1 - 1/3) - (-1 - (-1/3))
   S = (1 - 1/3) - (-1 + 1/3)
   S = (2/3) - (-2/3)
   S = 2/3 + 2/3 = 4/3.

Ответ: 4/3